Tangens

• Trigonometrische Funktion , die zu einem Winkel das passende Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete liefert
  $\quad f(x) = \tan(x)$

• Eigenschaften:

  • Periodisch mit einer Periode von $\pi$: $f(x+\pi) = f(x)$.
  • Keine Begrenzung des Funktionswerts; Tangens-Werte liegen im Bereich $(-\infty, \infty)$.
  • Hat Polstellen bei $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Symmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion): $\tan(-x) = -\tan(x)$.

• Beispiel:

  • $\tan(0) = 0$, $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\tan(\frac{\pi}{2})$ undefiniert (Polstelle).
    

Wo liegen die Nullstellen bei der Tangens-Funktion?

• Da, wo sie bei der Sinus-Funktion auch liegen, also immer bei Vielfachen von Pi.

Wie kann man von einem Tangens-Wert schnell sagen, ob er positiv oder negativ ist?

1. Rechne Betrag(x) Modulo 180
   • Rest < 90 $\Rightarrow$ Positiv
   • Rest > 90 $\Rightarrow$ negativ
2. Wenn x < 0

• Vorzeichen umdrehen

$x$ in °	$x$ in $\pi$	$\tan(x)$
-90	$-\dfrac{\pi}{2}$	Nicht definiert
-60	$-\dfrac{\pi}{3}$	$-\sqrt{3}$
-45	$-\dfrac{\pi}{4}$	$-1$
-30	$-\dfrac{\pi}{6}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
0	$0$	$0$
30	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\dfrac{\pi}{4}$	$1$
60	$\dfrac{\pi}{3}$	$\sqrt{3}$
90	$\dfrac{\pi}{2}$	Nicht definiert