Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
-
verbindet Ableitung und Integralrechnung
-
Er besagt, dass Integration und Differentiation Gegensätze sind.
-
Erster Teil: Bestimmtes Integral = Differenz der Stammfunktion-Werte
Ist $f$ stetig auf einem Intervall $[a, b]$ und ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt:
$\int_a^b f(x)\quaddx = F(b) - F(a)$ -
Zweiter Teil: Ableitung der Integralfunktion = Ausgangsfunktion
Wenn $F(x) = \int_a^x f(t)\quaddt$, dann ist $F’(x) = f(x)$
-
Integralfunktionen mit unterschiedlichen Startwerten $a$ unterscheiden sich jeweils nur um eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt.
-
Begründung:
Es seien $a_1 < a_2$, und definiert seien:
$\quad G(x) = \int_{a_1}^x f(t)\quaddt \quad$ und $\quad H(x) = \int_{a_2}^x f(t)\quaddt$Dann gilt:
$\quad G(x) = \int_{a_1}^{a_2} f(t)\quaddt + H(x)$
$\quad\Rightarrow$ $G(x)$ und $H(x)$ unterscheiden sich nur um eine Konstante, unabhängig von $x$.
$\quad\Rightarrow G’(x) = H’(x) = f(x)$