Phönix aus der Asche

• Spezialfall der partiellen Integration, bei dem nach Anwendung das ursprüngliche Integral wieder erscheint.
• Wie der Phönix „entsteht“ das Integral aus seiner eigenen Umformung neu.

Beispiel

$\int\cos^2(x)\quad dx$

$=\int\cos(x)\cdot\cos(x)\quad dx\qquad \mid$ Terme für partielle Integration bestimmen: $u=\cos(x)$, $v’=\cos(x)$

$u=\cos(x)\quad \rightarrow \quad u’=-\sin(x)$
$v’=\cos(x) \quad \rightarrow \quad v=\sin(x)\qquad\qquad \mid\quad$Formel für partielle Integration anwenden: $\int u\cdot v’ \ dx=uv - \int u’v\ dx$

$=\cos(x)\sin(x)-\int\sin(x)\cdot(-\sin(x))\quad dx$
$=\cos(x)\sin(x)+\int\sin^2(x)\quad dx\qquad \qquad \mid$ Trigonometrischer Pythagoras: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\quad\Rightarrow\quad\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$

$=\cos(x)\sin(x)+\int(1-\cos^2(x))\quad dx$
$=\cos(x)\sin(x)+\int 1\quad dx-\int\cos^2(x)\quad dx\qquad\mid$ Das ursprüngliche Integral $\int\cos^2(x)\quad dx$ ist jetzt auf beiden Seiten vorhanden
$=\cos(x)\sin(x)+x-\int\cos^2(x)\quad dx\qquad \mid$ $+ \int\cos^2(x)\quad dx\qquad\quad\rightarrow$ Phönix!

$2\int\cos^2(x)\quad dx=\cos(x)\sin(x)+x\qquad\qquad \mid \div 2\quad\mid$ Integrationskonstante ergänzen

$\int\cos^2(x)\quad dx=\frac{1}{2}\cos(x)\sin(x)+\frac{1}{2}x+C$