spezielle Matrizen

Matrizen mit besonderer Form

Nullmatrix:

Alle Elemente sind gleich null, also $a_{ik} = 0$ für alle $i$ und $k$

$\mathbf{0}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Notation: $\mathbf{0}$ oder $0_{m\times n}$ für eine $m\times n$-Matrix

Spaltenmatrix:

Eine Matrix mit nur einer Spalte, also vom Format $m \times 1$
Beispiel: $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix}$

Zeilenmatrix:

Eine Matrix mit nur einer Zeile, also vom Format $1 \times n$
Beispiel: $\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}$

quadratische Matrizen

Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten.

Diagonalmatrix

Nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen ($a_{ii}$) sind ggf. ungleich null, alle anderen sind null
Beispiel:
$\mathbf{D}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Einheitsmatrix (Identitätsmatrix)

Spezialfall der Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonalen
-> Siehe: Einheitsmatrix
Beispiel:
$\mathbf{I}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

obere Dreiecksmatrix

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind null ($a_{ik} = 0$ für $i > k$)
Beispiel:
$\mathbf{U}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

untere Dreiecksmatrix

Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind null ($a_{ik} = 0$ für $i < k$)
Beispiel:
$\mathbf{L}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

symmetrische Matrix

Die Matrix ist gleich ihrer Transponierten ($A = A^\top$), d. h. $a_{ik} = a_{ki}$
Beispiel:
$\mathbf{S}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

schiefsymmetrische Matrix

Die Matrix ist gleich dem Negativen ihrer Transponierten ($A = -A^\top$), daher $a_{ii} = 0$
Beispiel:
$\mathbf{K}_{3\times3} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

Spiegelmatrix

Matrix, die die Spiegelung eines Objekts an einer Achse oder Ebene im Raum darstellt.
Spiegelmatrix

Drehmatrix

Matrix, welche die Drehung eines Vektors gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel alpha beschreibt
Drehmatrix