Division durch eine komplexe Zahl
- Um durch eine komplexe Zahl zu dividieren, geht man folgendermaßen vor:
- Man interpretiert die Division als Bruch und schreibt den Divisor in den Nenner
- Man erweitert den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenners und erhält eine Reelle Zahl im Nenner
- Man teilt realteil und imaginaerteil jeweils durch die Zahl im Nenner
Durch Erweitern mit dem komplex konjugierten des Nenners erhält man dort eine reelle Zahl, nämlich das Quadrat des Nenner-Betrags :
$\large{}\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\cdot\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$
Beispiel
$z_1 = 2 + 3i$
$z_2 = 4 - i$
$z_1 \div z_2 = (2+3i)\div(4-i)$
1. Division als Bruch schreiben
$\dfrac{z_1}{z_2}\quad=\quad \dfrac{(2 + 3i)}{(4 - i)}$
2. Erweitern mit dem komplex konjugierten des Nenners
$= \dfrac{(2 + 3i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)}$
Berechnung des Nenners:
$(4 - i)(4 + i) = 4^2 - (-i^2)$
$= 16 - (-1)$
$= 16 + 1$
$= 17$
Berechnung des Zählers:
$(2 + 3i)(4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i$
$= 8 + 2i + 12i + 3i^2$
Da $i^2 = -1$:
$= 8 + 2i + 12i + 3(-1)$
$= 8 + 14i - 3$
$= 5 + 14i$
Zusammenfügen von Zähler und Nenner:
$= \frac{5 + 14i}{17}$
3. Realteil und Imaginärteil einzeln berechnen
$= \frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$
Ergebnis:
$\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$