Vektor

• Größe, die sich aus mehreren Komponenten zusammensetzt
• Die einzelnen Komponenten können in horizontaler Form (= n-Tupel ) oder als Spaltenvektor notiert werden:
  • $n$-Tupel: $\quad \vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$
  • Spaltenvektor: $\quad \vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$
• Jede Komponente lässt sich als die Länge interpretieren, die der Vektor parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft
• Im Nachfolgenden Beispiel ist $3$ die Länge des Vektors in Richtung der $x$-Achse und $4$ die Länge in Richtung der $y$-Achse

• Anhand der Komponenten lassen sich Betrag und Richtung des Gesamtvektors bestimmen

Betrag bestimmen

• Der Betrag wird als Wurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten bestimmt:
  $\qquad \mid\vec{v}\mid=\sqrt{(v_1)^2+(v_2)^2+\dots+(v_n)^2}$
• In Bezug auf das Beispiel von Oben: $\qquad \mid\vec{v}\mid=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

Richtung bestimmen

• Die Richtung im Falle von zweidimensionalen Vektoren als Winkel $\theta$ zur $\color{blue}\text{positiven x-Achse}$ angegeben:
  
• Die allgemeine Formel zur Bestimmung des Winkels $\theta$ eines zweidimensionalen Vektors $\mathbf{v} = (x, y)$ zum positiven $x$-Achsen-Vektor lautet:

$\theta = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{wenn } x > 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{wenn } x < 0 \\ \frac{\pi}{2}, & \text{wenn } x = 0 \text{ und } y > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & \text{wenn } x = 0 \text{ und } y < 0 \\ 0, & \text{wenn } x = 0 \text{ und } y = 0 \end{cases}$

Die Funktion $\text{atan2}(y, x)$ übernimmt diese Fallunterscheidung automatisch und liefert den Winkel im Bereich $[-\pi, \pi]$.