aufbau komplexer Zahlen

• Komplexe Zahlen bestehen aus mehreren Zeichen und lassen sich in zwei Teil-Koordinaten zerlegen:

1. Realteil = $x$-Koordinate
2. Imaginärteil = $y$-Koordinate

• Beispiel für eine komplexe Zahl: $\quad 1+2i$
  • $1$ = Realteil
  • $2$ = Imaginaerteil
  • $i$ = imaginäre Einheit

• Komplexe Zahlen lassen sich auf einem zweidimensionalen Zahlenstrahl, der sogenannten Gausschen Zahlenebene , eingetragen
• Typischer Variable-Name für den gesamten Term: $\large{}z$

Hintergrund

• Nachdem man die Rationalen Zahlen um die Irrationalen Zahlen erweitert und so die Reellen Zahlen erfunden hatte, war auf dem Zahlenstrahl kein Platz mehr
• Um trotzdem neue Zahlen erschaffen zu können, musste man sich etwas einfallen lassen:
  Man nahm zwei reelle Zahlen zur Hand und bastelte daraus eine zweidimensionale Koordinate. Diese besteht aus mehreren Zeichen aber man tut einfach so, als hätte man eine einzige Zahl vor sich.

Notation

• Die Notation ist auf unterschiedliche Weise möglich:
  • Normalform $\quad z = x + j\cdot y\quad$-> Basis: Kartesische Koordinaten
  • Polarform $\quad r\cdot(\cos(\theta)+j\sin(\theta))\quad$-> Basis: Polarkoordinaten
  • Exponentialform $\quad z=r\cdot e^{j\varphi}\quad$-> Basis: Polarkoordinaten
• In allen Fällen erweitert man den bestehenden Zahlenstrahl um eine vertikale Dimension