Ansatz der rechten Seite
- Lösungsschema für lineare inhomogene DGLs mit konstanten Koeffizienten
Lösungsschritte
- Ausgangs-DGL
- Lösung der homogenen DGL (linke Seite), z.B. mittels TDV oder Ansatz
- Allgemeine Form der Störfunktion (= Ansatz für rechte Seite) notieren
- Bei Resonanz (Ansatz für rechte Seite ist in y-homogen enthalten) den Ansatz der rechten Seite mit x multiplizieren
- Ansatz der rechten Seite in DGL einsetzen
- Koeffizientenvergleich (LGS lösen und Parameter in DGL aus 5. einsetzen) -> liefert partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
- Gesamt-Lösung als Summe der homogenen und der partikulären Lösung bestimmen
Beispiel
1. Ausgangs-DGL
$y’(x) - 2y(x) = 3e^{x}$
2. Lösung der homogenen DGL (linke Seite)
Die zugehörige homogene DGL lautet:
$y’(x) - 2y(x) = 0$
Diese ist eine lineare, homogene DGL erster Ordnung. Wir lösen sie z.B. durch Ansatz:
Setze $y_h(x) = e^{\lambda x}$ in die homogene DGL ein:
$\lambda e^{\lambda x} - 2e^{\lambda x} = 0 \Rightarrow (\lambda - 2) e^{\lambda x} = 0$
$\Rightarrow \lambda = 2$
Lösung der homogenen DGL:
$y_h(x) = C e^{2x}$
3. Allgemeine Form der Störfunktion (Ansatz für rechte Seite)
Die rechte Seite ist $3e^{x}$ → ein Exponentialausdruck der Form $e^{x}$
→ Ansatz: $y_p(x) = A e^{x}$ (partikuläre Lösung)
4. Resonanzprüfung
Ist $e^{x}$ bereits Teil der Lösung der homogenen DGL?
- Homogene Lösung: $C e^{2x}$ → enthält nicht $e^{x}$
- → Kein Resonanzfall, der Ansatz bleibt so wie er ist.
5. Ansatz der rechten Seite in DGL einsetzen und Ansatzkonstante ermitteln
Leite den Ansatz ab:
$y_p(x) = A e^{x} \Rightarrow y_p’(x) = A e^{x}$
Einsetzen in die DGL:
$y_p’(x) - 2y_p(x) = A e^{x} - 2A e^{x} = (A - 2A) e^{x} = -A e^{x}$
Setze gleich zur rechten Seite der DGL:
$-A e^{x} = 3 e^{x} \Rightarrow -A = 3 \Rightarrow A = -3$
6. Koeffizientenvergleich (Parameter bestimmt)
Damit ist die partikuläre Lösung:
$y_p(x) = -3 e^{x}$
7. Gesamt-Lösung bestimmen
Die Gesamtlösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung:
$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{2x} - 3 e^{x}$
Fertig! Die DGL $y’(x) - 2y(x) = 3e^{x}$ hat die Lösung:
$y(x) = C e^{2x} - 3 e^{x}$