Lösungsmethode Trennung der Variablen

• Anleitung, um eine DGL mittels ‘Trennung der Variablen’ zu lösen

Trennung der Variablen (Methode)

Ziel: Lösung einer Differentialgleichung der Form
$\tfrac{dy}{dx} = f(x)\cdot g(y)$

Schritte

1. In die richtige Form bringen
   Stelle die DGL so um, dass die rechte Seite als Produkt von einer $x$-Funktion und einer $y$-Funktion erscheint.

   Beispiel: $\tfrac{dy}{dx} = x\cdot y$ passt.

2. Variablen trennen
   Bringe alle Terme mit $y$ auf die linke Seite, alle mit $x$ auf die rechte:
   $\tfrac{1}{g(y)}\quad dy = f(x)\quad dx$

3. Beide Seiten integrieren
   $\int \tfrac{1}{g(y)}\quad dy = \int f(x)\quad dx$

4. Integrationsergebnisse kombinieren
   Konstante $C$ nur einmal notieren.

5. Nach $y(x)$ auflösen
   Wenn möglich, die Lösung explizit darstellen.

Beispiel

Gegeben: $\tfrac{dy}{dx} = x\cdot y$

1. Variablen trennen:
   $\tfrac{1}{y}\quad dy = x\quad dx$

2. Integrieren:
   $\int \tfrac{1}{y}\quad dy = \int x\quad dx$

3. Ergebnisse:
   $\ln|y| = \tfrac{x^2}{2} + C$

4. Nach $y$ auflösen:
   $y(x) = C’\quad e^{x^2/2},\quad C’ = \pm e^C$

Mit Anfangsbedingung
Falls $y(x_0) = y_0$ gegeben ist, kann $C’$ berechnet werden:
$y_0 = C’\quad e^{x_0^2/2} \quad \quad \Rightarrow\quad \quad C’ = y_0 \cdot e^{-x_0^2/2}$

Damit:
$y(x) = y_0 \cdot e^{(x^2 - x_0^2)/2}$