Basislösung

• Eine von mehreren linear unabhängigen Lösungen, die zusammen die allgemeine Lösung ergeben.
• Erhält man, indem man bei der allgemeinen Lösung $\quad y = C_1 y_1 + C_2 y_2\quad$ einen der beiden Koeffizienten $C_1$ und $C_2$ gleich $0$ und den anderen gleich $1$ setzt.

Herleitung der allgemeinen Lösung aus Eigenwerten

Die Basislösungen sind teil der allgemeinen Lösung . Diese kann anhand der Eigenwerte konstruiert werden:

1. Zwei reelle, verschiedene Eigenwerte:
   $y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$

2. Ein reeller, doppelter Eigenwert:
   $y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$

3. Ein doppelter, komplex konjugierter Eigenwert:
   $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(|\beta| x) + C_2 \sin(|\beta| x))$
   mit $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$