charakteristisches Polynom einer Matrix

• Polynom in der Variablen λ, das sich aus det(A − λI) für eine quadratische Matrix A ergibt
• Definition: $p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$
• Grad: entspricht der Dimension der Matrix
• Die Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix (mit algebraischer Vielfachheit)
• Vorgehen:
  1. $\lambda$ als formale Variable einführen
  2. Matrix $A-\lambda I$ bilden (von jedem Diagonaleintrag λ subtrahieren)
  3. Determinante dieser neuen Matrix berechnen
• Wichtig: Die Form des Polynoms hängt von der Basis ab, die Eigenwerte jedoch nicht

Beispiel

$A=\begin{pmatrix}2&1\0&2\end{pmatrix}$

Schritt 1: Formale Variable $\lambda$ einführen
Wir wollen $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ bestimmen.

Schritt 2: $A - \lambda I$ bilden
$A - \lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1\ 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}$

Schritt 3: Determinante berechnen
$p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda) - 0\cdot1 = (2-\lambda)^2 = 4 - 4\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 4$

Ergebnis:
$p_A(\lambda) = (2-\lambda)^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 4$
Eigenwert: $\lambda = 2$ (algebraische Vielfachheit 2)