DGLs zweiter Ordnung mit charakteristischer Gleichung lösen

Anleitung mit Beispiel

Beispiel-DGL

$y’’ - 3y’ + 2y = 0$

1. Exponential-Ansatz und Aufstellen der charakteristischen Gleichung

Vorgehen: Ersetze Ableitungen durch Potenzen von $\lambda$:

$y’’ - 3y’ + 2y = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung .

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2. Lösen der charakteristischen Gleichung

Finde die Nullstellen:

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$

$\Rightarrow \lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2$

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3. Allgemeine Lösung aufstellen — je nach Art der Nullstellen

Es gibt drei Fälle:

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Fall A: Zwei reelle, verschiedene Nullstellen ($\lambda_1 \ne \lambda_2$)

Lösung:

$y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$

Beispiel:

$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$

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Fall B: Doppelte reelle Nullstelle ($\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$)

Lösung:

$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$

Beispiel:

$y’’ - 4y’ + 4y = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$

$\Rightarrow y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{2x}$

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Fall C: Komplexe Nullstellen ($\lambda = \alpha \pm i\beta$)

Lösung:

$y(x) = e^{\alpha x} \left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right)$

Beispiel:

$y’’ + y = 0 \Rightarrow \lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm i$

$\Rightarrow y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$