Doppelintegral in Polarkoordinaten
- Notation zur Integration eines Skalarfeldes in Polarkoordinaten
- Liefert das vorzeichenbehaftete Volumen, das die Fläche mit der $r$-$\varphi$-Ebene (bzw. über die $x$-$y$-Ebene in Polarkoordinaten) einschließt
- Wird verwendet, wenn das Integrationsgebiet kreisförmig oder rotationssymmetrisch ist
- Synonyme: Flächenintegral in Polarkoordinaten, Gebietsintegral in Polarkoordinaten
$\quad$
$\quad \huge V = \displaystyle \iint\limits_B f(r, \varphi) \color{red}\cdot r\color{black} \quad dr \quad d\varphi$
$\quad$
$\quad \text{B}$ = Fläche in Polarkoordinaten, z. B. durch $r$- und $\varphi$-Grenzen beschrieben
$\quad$ $r \quad dr \quad d\varphi$ = Flächenelement in Polarkoordinaten (entspricht $dB$ im kartesischen Fall
)
$\quad$$\color{red}r\color{black}$: Abstand vom Ursprung (wirkt als Gewichtungsfaktor für die Fläche)
$\quad$$dr$: infinitesimale Änderung des Radius
$\quad$$d\varphi$: infinitesimale Winkeländerung im Bogenmaß
Anders als bei der Doppelintegralberechnung über Normalbereiche in kartesischen Koordinaten, erhält man das Volumen nur, wenn man die Funktion im Integral zusätzlich mit dem Radius $\color{red}r$ multipliziert
Wenn das Skalarfeld nicht in Polarkoordinaten, sondern in kartesischen Koordinaten definiert ist, kann man $r\cdot cos(\varphi)$ für $x$ und $r\cdot sin(\varphi)$ für $y$ einsetzen. Wichtig ist, dass man nicht vergisst, mit $\color{red}r$ zu multiplizieren.