Multiplikation von Matrizen
- Verknüpfung zweier Matrizen, bei der Zeilen der ersten mit Spalten der zweiten Matrix kombiniert werden
- Möglich nur, wenn Spaltenzahl der ersten Matrix gleich Zeilenzahl der zweiten ist: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$
$\huge\Rightarrow$ Spalten der ersten und Zeilen der zweiten müssen gleich sein!
- Ergebnis ist eine Matrix der Dimension $m \times p$
- Eintrag an Position $(i,j)$ ergibt sich als Skalarprodukt der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $j$-ten Spalte von $B$:
$(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}$ - Nicht kommutativ: $AB \neq BA$ im Allgemeinen
- Assoziativ: $(AB)C = A(BC)$
- Distributiv: $A(B + C) = AB + AC$
- Anwendung z. B. bei Linearen Abbildungen, Transformationsmatrizen, Gleichungssystemen
Beispiel
$\mathbf{A}{2\times3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\quad$
$\mathbf{B}{3\times2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
Berechnung des Produkts $\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$:
- $\mathbf{C}_{11} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 0) + (2 \cdot 1) = 2 + 0 + 2 = 4$
- $\mathbf{C}_{12} = (1 \cdot -1) + (0 \cdot 4) + (2 \cdot 3) = -1 + 0 + 6 = 5$
- $\mathbf{C}_{21} = (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 0) + (1 \cdot 1) = -2 + 0 + 1 = -1$
- $\mathbf{C}_{22} = (-1 \cdot -1) + (3 \cdot 4) + (1 \cdot 3) = 1 + 12 + 3 = 16$
Ergebnis:
$\mathbf{C}_{2\times2} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 16 \end{pmatrix}$