Spur einer Matrix

• Summe der Diagonaleinträge einer quadratischen Matrix
• Gilt nur für quadratische Matrizen ($n\times n$)
• Beispiel:
  $\begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & 2 & 3 \\ 4 & \textcolor{red}{5} & 6 \\ 7 & 8 & \textcolor{red}{9} \end{pmatrix}\Rightarrow\ 1+5+9=15$

Beispiel: Spur und Eigenwerte einer Matrix

Gegeben sei die Matrix
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

1. Diagonaleinträge (für die Spur):
$2$ und $4$

→ Spur:
$\mathrm{Spur}(A) = 2 + 4 = 6$

2. Eigenwerte berechnen:
Charakteristisches Polynom:
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 4 - \lambda \end{vmatrix}$
$= (2 - \lambda)(4 - \lambda) - (-1)(1) = (\lambda^2 - 6\lambda + 9)$

Nullstellen:
$\lambda_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

→ Eigenwerte:
$\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 3$

→ Summe der Eigenwerte:
$\lambda_1 + \lambda_2 = 3 + 3 = 6$