Gauß-Algorithmus

Ein Verfahren zur systematischen Lösung linearer Gleichungssysteme durch Umformung der zugehörigen Matrix in eine obere Dreiecksform.

Ziel: Vereinfachung des LGS zur leichteren Rücksubstitution

Grundlage ist die Anwendung von elementaren Zeilenumformungen:

• Vertauschen von Zeilen
• Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
• Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Besteht aus zwei Hauptschritten:

• Vorwärtselfimination: Nullsetzen der Einträge unterhalb der Hauptdiagonale
• Rückwärtssubstitution: Schrittweise Berechnung der Unbekannten von unten nach oben

Führt zu einer Dreiecksform (Stufenform), oft in der erweiterten Koeffizientenmatrix

Erweiterbar zum Gauß-Jordan-Algorithmus für die Reduktion bis zur Diagonalform

Grundlage für viele numerische Verfahren und in Computeralgebra weit verbreitet

Beispiel einer Matrixumformung:

Aus $\begin{bmatrix}1 & 2 & | & 5\2 & 3 & | & 8\end{bmatrix}$
wird durch Zeilenoperationen die Stufenform $\begin{bmatrix}1 & 2 & | & 5\0 & -1 & | & -2\end{bmatrix}$