Inverse einer Matrix

• Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist
• Ihre Inverse ist eine Matrix, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.
• Nur quadratische Matrizen mit vollem Rang (d. h. $\det(A)\ne 0$) sind invertierbar
• Die Inverse $A^{-1}$ erfüllt: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
• Berechnungsmethoden:
  • Für $2\times2$-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$ gilt:
    $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}$, falls $ad - bc \ne 0$
  • Allgemein (größere Matrizen):
    • Gauß-Jordan-Verfahren: Matrix $A$ wird an die Einheitsmatrix angehängt und durch Zeilenumformungen in die Form $[I|A^{-1}]$ gebracht
    • Adjungierte Methode (für theoretische Zwecke):
      $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$, wobei $\text{adj}(A)$ die Adjungierte ist
• Anwendungen z. B. in der Lösung von Gleichungssystemen ($A\vec{x}=\vec{b} \Rightarrow \vec{x} = A^{-1}\vec{b}$), Grafiktransformationen, Kontrolltheorie

Beispiel 1: Reguläre Matrix (mit Inverser)

Gegeben:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Determinante:
$\det(A) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2 \ne 0$

→ $A$ ist regulär → Inverse existiert

Berechnung der Inversen:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

Beispiel 2: Singuläre Matrix (keine Inverse)

Gegeben:
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determinante:
$\det(B) = 2\cdot2 - 4\cdot1 = 4 - 4 = 0$

→ $B$ ist singulär → keine Inverse

Grund:
Zeile 2 ist ein Vielfaches von Zeile 1 → Spalten/Zeilen linear abhängig

→ Rang < 2 → keine eindeutige Lösung möglich → nicht invertierbar