Spatprodukt
- Vorzeichen behaftetes Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds).
- Mathematisch definiert als: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
- Ergibt einen Skalarwert
- Geometrische Bedeutung: Volumen eines Spats mit den Kanten $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$
- Ist das Ergebnis null, sind die Vektoren komplanar (liegen in einer Ebene)
- Vorzeichen gibt die Orientierung an (rechtshändig oder linkshändig)
- Betrag: $|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$
- Anwendbar z. B. in Geometrie, Physik (Volumenberechnung, Kräfte im Raum)
Kommutativität
- Der Betrag des Spatprodukts ändert sich beim Vertauschen der Vektoren nicht: $|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|=|[\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]|$
- Das Vorzeichen des Spatprodukts ändert sich genau dann, wenn eine ungrade Anzahl an Vertauschungen vorgenommen wird.
Beispiel:- Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ werden getauscht -> eine Vertauschung, das Vorzeichen des Spatprodukts ändert sich
- Es werden erst $\vec{a}$ und $\vec{c}$ und danach $\vec{b}$ und $\vec{c}$ getauscht -> zwei Vertauschungen, das Vorzeichen des Spatprodukts ändert sich nicht