zweireihige Determinante

Determinante einer 2x2 Matrix

Berechnet sich als Differenz der Hauptdiagonalen und der Gegendiagonalen

Betrifft Matrizen der Form: $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$

Berechnung mit der Formel: $\color{red}ad - bc$

Wichtig zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist

Geometrische Bedeutung: Misst die orientierte Fläche des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms
-> Grund: Berechnungsformel im Vektorprodukt der mit $0$ ergänzten 3D-Vektoren enthalten:
-> $\left|\left(\begin{array}{c}a_{11} \\ a_{21} \\ 0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}a_{12} \\ a_{22} \\ 0\end{array}\right)\right| = \left|\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \color{red} a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\color{black}\end{array}\right)\right| = \sqrt{(a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21})^2}= |a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}| = \left|\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\right|$

Anwendung u. a. in der Linearen Algebra, bei linearen Gleichungssystemen und in der Vektorrechnung

Zwei Vektoren $\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}$ sind genau dann parallel, wenn der Betrag der Determinante von $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ gleich $0$ ist:
-> $\left|\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\right| = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}$