Eigenwert einer Matrix

• Faktor, mit dem ein Eigenvektor bei Multiplikation mit seiner Matrix gestreckt wird
  $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
  -> Eigenwert: 2

Berechnung

1. Eigenwert-Gleichung: $Av=\lambda v$ mit Eigenvektor $v$ und Eigenwert $\lambda$
2. Umformen: $(A-\lambda I)v=0$
3. Bedingung für nichttriviale Lösung: $\det(A-\lambda I)=0$
4. Charakteristisches Polynom lösen → Nullstellen sind die Eigenwerte

Beispiel:

Gegeben: $A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$

1. $A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda&1\1&2-\lambda\end{pmatrix}$
2. Determinante: $(2-\lambda)(2-\lambda)-1=\lambda^2-4\lambda+3$
3. Lösen: $\lambda^2-4\lambda+3=0\Rightarrow\lambda=1$ oder $\lambda=3$

Hinweise:

• Funktioniert nur für quadratische Matrizen
• Für $n\times n$-Matrizen ist das charakteristische Polynom vom Grad $n$
• Reelle Matrizen können komplexe Eigenwerte haben