Spiegelmatrix

• Matrix, die die Spiegelung eines Objekts an einer Achse oder Ebene im Raum darstellt.
• Wird verwendet, um geometrische Objekte in der linearen Algebra zu spiegeln
• In 2D: Spiegelung an der x- oder y-Achse z. B. durch Matrizen
  • an der x-Achse: $\begin{pmatrix}1 & 0\ 0 & -1\end{pmatrix}$
  • an der y-Achse: $\begin{pmatrix}-1 & 0\ 0 & 1\end{pmatrix}$
• In 3D: Spiegelung an Koordinatenebenen, z. B.
  • an der $xy$-Ebene: $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$
• Eine Spiegelmatrix ist orthogonal und hat Determinante $-1$
• Anwendung z. B. in Computergrafik, Robotik, Physik, CAD-Systemen

Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung

• Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit Winkel $\alpha$ zur $x$-Achse:
  $A = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) \end{pmatrix}$
• $\alpha$ ist der nichtorientierte Winkel zwischen der Spiegelgeraden und der positiven $x$-Achse
• Ein Vektor $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ wird durch $A \cdot \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ gespiegelt
• Diese Spiegelmatrix gilt speziell für Geraden, die durch den Ursprung verlaufen