Betrag einer komplexen Zahl

• Länge des Ortsvektors der komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene
  -> Es handelt sich um eine reelle Größe
• Operator zur Ermittlung des Betrages: Betragsstriche
  • |$z$| = Betrag der Zahl $z$

Berechnungsmöglichkeiten

• Liegt die komplexe Zahl in Polarform oder in Exponentialform vor, so entspricht der Betrag dem Radius $r$ - man kann ihn also direkt ablesen.

• Liegt die komplexe Zahl in Normalform vor, so lässt sich der Betrag mithilfe des Satzes von Pythagoras aus dem Realteil[^1] und dem Imaginärteil ermitteln:
  $|z|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}$
  $Re(z)$ = Realteil
  $Im(z)$ = Imaginärteil

• In jedem Fall erhält man den Betrag einer komplexen Zahl durch Multiplikation mit ihrem komplex konjugierten und anschließendem Wurzelziehen:
  $z\cdot\bar{z}=|z|^2\quad\Rightarrow\quad|z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}$

  Beweis der ersten Gleichung
  $z\cdot\bar{z}=(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2=x^2+y^2=|z|^2$