Dimension der Lösungsmenge homogener LGS
- LGS können stets eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben
- Ist das System lösbar, so lässt sich die Dimension der Lösungsmenge folgendermaßen berechnen:
$\text{Dimension} = \text{Anzahl Variablen} - \text{Anzahl linear unabhängiger Gleichungen}$
| Dimension der Lösungsmenge | Geometrische Form | Beispielhafte Lösungsmengen |
|---|---|---|
| 0 | Punkt | $x = 2,\ y = -1,\ z = 0$ |
| 1 | Gerade | $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\2\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\1\1\end{pmatrix}$ |
| 2 | Ebene | $\vec{x} = \begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\0\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\1\1\end{pmatrix}$ |
| 3 | 3D-Hyperfläche | $\vec{x} = \vec{a} + s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2 + u\vec{v}_3$ mit $s,t,u \in \mathbb{R}$ |