Integration durch Substitution
- Methode zur Vereinfachung eines Integrals
$\int f(u(x)) \cdot u’(x)\quad dx = F(u(x)) + C$
Vorgehen
-
Struktur erkennen:
- Identifiziere die innere Funktion $u(x)$.
- Bestimme die äußere Funktion $f$.
- Überprüfe, ob die Ableitung $u’(x)$ als Faktor im Integranden enthalten ist.
-
Nebenrechnung:
- Substituiere die innere Funktion durch $u$.
- Leite $u$ nach $x$ ab: $\frac{du}{dx}$.
- Stelle $dx$ um: $dx = \frac{du}{u’(x)}$ (Leibniz-Notation empfohlen).
-
Integral umformen:
- Setze $u$ und $dx$ in das Integral ein.
- Vereinfache das Integral so, dass keine $x$ mehr vorkommen.
-
Stammfunktion berechnen:
- Bilde die Stammfunktion mit $u$ als Integrationsvariable.
- Rücksubstitution: Setze $u = u(x)$ wieder ein.
-
(Optional) Probe:
- Leite das Ergebnis ab, um zu prüfen, ob der ursprüngliche Integrand entsteht.
Beispiel
$\huge{}\int \sin(x^2) \cdot 2x \quad dx$
1. Struktur erkennen:
- Innere Funktion: $u(x) = x^2$
- Äußere Funktion: $\sin(u)$
- Ableitung der inneren Funktion: $u’(x) = 2x$ ist im Integranden enthalten
2. Nebenrechnung:
$u = x^2$
$\frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2x}$
3. Integral umformen:
$\int \sin(x^2) \cdot 2x \quad dx$
$= \int \sin(u) \cdot 2x \cdot \frac{du}{2x}$
$= \int \sin(u) \quad du$
4. Stammfunktion berechnen:
$\int \sin(u) \quad du = -\cos(u) + C$
5. Rücksubstitution:
$-\cos(u) + C = -\cos(x^2) + C$
Ergebnis:
$\int \sin(x^2) \cdot 2x \quad dx = -\cos(x^2) + C$
Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals mit Substitution muss man entweder vor dem Einsetzen der Grenzen eine Rücksubstitution vornehmen oder die Grenzen anpassen: Man setzt sie zunächst in die Substitutionsfunktion ein und verwendet die so transformierten Grenzen im substituierten Integral.
Beispiel:
Berechne das bestimmte Integral
$\int_0^2 x \cdot \sqrt{1 + x^2} \quad dx$
Lösung mit Substitution:
Setze $u = 1 + x^2$ ⇒ $du = 2x \quad dx$ ⇒ $x \quad dx = \frac{1}{2} \quad du$
Dann ergibt sich das Integral:
$\int_0^2 x \cdot \sqrt{1 + x^2} \quad dx = \int_{x=0}^{x=2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \quad du$
Grenzen transformieren:
- Wenn $x = 0$, dann $u = 1$
- Wenn $x = 2$, dann $u = 5$
Also:
$\frac{1}{2} \int_1^5 \sqrt{u} \quad du = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (5^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{3} (5^{3/2} - 1)$