vektorielles Kurvenintegral

• misst, wie stark ein Vektorfeld entlang einer bestimmten Kurve in eine Richtung wirkt – zum Beispiel, wie viel Arbeit eine Kraft auf einem Weg leistet.
• Synonym: Wegintegral

$W = \displaystyle\int_a^b \vec{F}(\vec{\gamma}(t))\cdot \vec{\gamma}’(t) dt$

$\vec{F}$ = Funktion für die Kraft in einem Kraftfeld $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$
$\vec{\gamma}$ = Kurve für den Weg $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$

-> Es wird das Skalarprodukt verwendet, sodass das Integral über eindimensionale Werte gebildet wird

Anwendungen

Vektorfeld	Kurvenintegral
Kraftfeld	Arbeit
Geschwindigkeitsfeld	Zirkulation
Elektrische Feldstärke	Elektrische Spannung
Wärmeänderung	Wärmemenge

Beispiel

Gegeben:

Kraftfeld:
$\vec{F}(x, y) = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix}$

Kurve (Weg):
$\vec{\gamma}(t) = \begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix}, \quad t \in [0,1]$

Schrittweise Berechnung:

1. Ableitung der Kurve:
   $\vec{\gamma}’(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix}$

2. Einsetzen der Kurve ins Kraftfeld:
   $\vec{F}(\vec{\gamma}(t)) = \vec{F}(t, t^2) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2 \end{pmatrix}$

3. Skalarprodukt bilden:
   $\vec{F}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \vec{\gamma}’(t) = 2t \cdot 1 + 3t^2 \cdot 2t = 2t + 6t^3$

4. Integral berechnen:
   $W = \int_0^1 (2t + 6t^3)\quad dt = \left[ t^2 + \frac{3}{2}t^4 \right]_0^1 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Ergebnis:

Die Arbeit entlang des Weges beträgt:
$\boxed{\dfrac{5}{2}}$