Logarithmus einer komplexen Zahl berechnen

1. Komplexe Zahl in polarer Form

Eine komplexe Zahl $z$ wird geschrieben als:

$z = re^{i\varphi}$

• $r = |z|$ ist der Betrag von $z$
• $\varphi = \arg(z)$ ist das Argument von $z$ (Winkel im Bogenmaß)

2. Definition des komplexen Logarithmus

Der Logarithmus einer komplexen Zahl zur Basis $e$ lautet:

$\ln z = \ln r + i\varphi$

Allgemein für eine beliebige Basis $a > 0,\ a \ne 1$ gilt:

$\log_a z = \dfrac{\ln z}{\ln a} = \dfrac{\ln r + i\varphi}{\ln a}$

Da $\varphi$ nicht eindeutig ist (wegen der Periodizität), ergibt sich:

$\log_a z = \dfrac{\ln|z| + i(\arg(z) + 2\pi k)}{\ln a},\quad k \in \mathbb{Z}$

Dies ist die allgemeine Form des komplexen Logarithmus zur Basis $a$.

Beispiel

Sei $z = -1$:

• $|z| = 1$
• $\arg(z) = \pi$ (aber auch $\pi + 2\pi k$)

Dann ist:

$\log_a(-1) = \dfrac{\ln(1) + i(\pi + 2\pi k)}{\ln a} = \dfrac{i(\pi + 2\pi k)}{\ln a},\quad k \in \mathbb{Z}$