quadratische Ergänzung

• Verfahren zum Umformen von Termen
• Ermöglicht z.B. das Lösen von quadratischen Gleichungen mittels binomischer Formeln

$\quad$

Anleitung am Beispiel einer quadratischen Gleichung

$\quad$
Ausgangsgleichung: $\quad 2x^2+16x+30=0$

1.) Umstellen in die normierte Form

$2x^2+16x+30=0\quad|\quad\div 2\qquad$
$x^2+8x+15=0$

2.) Konstante auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren

$x^2+8x+15=0\quad|\quad-15$
$x^2+8x=-15$

3.) Quadrat des halben Linearkoeffizienten ergänzen

$x^2+8x=-15\quad \qquad|\quad+(\frac{8}{2})^2\qquad$
$\quad$
$x^2+8x+(\frac{8}{2})^2=-15+(\frac{8}{2})^2\qquad|\quad\text{umstellen}$
$\quad$
$x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=1$

4.) Eine binomische Formel anwenden

$x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=1\quad|\quad$ $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$(x+4)^2=1$

5.) Fallunterscheidung

$(x+4)^2=1$

Fall 1: Klammer positiv
$x_1+4=\sqrt{1}$
$x_1+4=1$
$x_1=(-3)$

Fall 2: Klammer negativ
$x_2+4=-\sqrt{1}$
$x_2+4=-1$
$x_2=(-5)$