Pq-Formel

• Lösungsformel für normierte quadratische Gleichungen
• Aussage:
  $x^2 + px + q = 0\quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Beweis durch quadratische Ergänzung

Ausgangsform:

$x^2 + px + q = 0$

1. Isolieren des quadratischen Terms und des linearen Terms:
   $x^2 + px = -q$

2. Quadratische Ergänzung durchführen:
   Wir ergänzen das Quadrat, indem wir zu beiden Seiten $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ addieren:
   $x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = -q + \left(\frac{p}{2}\right)^2$

3. Umformen zur binomischen Formel:
   Der linke Ausdruck wird zu einem Quadrat:
   $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

4. Auflösen des Quadrats durch Fallunterscheidung :
   $x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

5. Lösen nach $x$:
   $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

   $\text{q.e.d.}$