Substitution
- Ersetzen eines Terms durch eine andere Variable
Anwendungsfall 1:$\quad$ Polynome vereinfachen
Wenn in einem Polynom höheren Grades alle vorhandenen Exponenten der Variable $x$ über den größten gemeinsamen Teiler $k$ verfügen, lässt sich das Polynom durch die Substitution $z=x^k$ vereinfachen
Beispiel 1
Gegeben: $\quad x^4-5x^2+6=0$
$\quad$
$x^4-5x^2+6=0\quad|\quad$ Substituiere $z = x^2$
$\quad$
$z^2-5z+6=0\quad|\quad$ -> mit Pq-Formel
lösen
$\quad$
$z_1=2$
$z_2=3$
$\quad$
Wichtig! Wenn Lösungen für $z$ gefunden wurden, ist eine Rücksubstitution erforderlich. Das bedeutet, man ermittelt die entsprechenden $x$-Werte, indem man für jedes gefundene $z$ die Gleichung $x^k=z$ nach $x$ auflöst:
$\text{1.)}\quad x^2=z_1=2\quad\Rightarrow\quad x_1=\sqrt2 \quad \lor \quad x_2=-\sqrt2$
$\text{2.)}\quad x^2=z_1=3\quad\Rightarrow\quad x_3=\sqrt3 \quad \lor \quad x_4=-\sqrt3$
Somit ergibt sich die reelle Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace\sqrt2,-\sqrt2,\sqrt3,-\sqrt3\rbrace$
Beispiel 2
$x^6-72x^3+512=0\quad|\quad$ Subst. $z = x^3$
$z^2+72z+512=0\quad|\quad$ -> mit PQ-Formel lösen
$z_1=8$
$z_2=64$
Wichtig! Wenn Lösungen für $z$ gefunden wurden, ist eine Rücksubstitution erforderlich. Das bedeutet, man ermittelt die entsprechenden $x$-Werte, indem man für jedes gefundene $z$ die Gleichung $x^k=z$ nach $x$ auflöst.
$\text{1.)}\quad x^3=z_1=8\quad\Rightarrow\quad x_1=\sqrt[3]8=2$
$\text{2.)}\quad x^3=z_2=64\quad\Rightarrow\quad x_2=\sqrt[3]64=4$
Somit ergibt sich die reelle Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace2,4\rbrace$
Anwendungsfall 2: $\quad$ Klammern durch Variablen ersetzen
Kommt in einem Ausdruck mehrfach der gleiche Klammer-Term vor, kann es sinnvoll sein die Klammer mit einer Variable zu substituieren
Beispiel
$\quad$
Ausgangsterm: $\qquad 9a^2+30ab+25b^2$
$\quad$
$\quad$
$9a^2+30ab+25b^2 \quad|\quad\color{brown}\text{Klammern erschaffen, indem man Koeffizienten in die Potenz zieht}$
$\quad$
$(3a)^2+2\cdot(3a)\cdot(5b)+(5b)^2 \quad|\quad \color{brown} \text{subst.} ;x=3a,; y=5b$
$\quad$
$x^2+2xy+y^2 \qquad | \quad \color{brown}\text{1. Bin. Frml.}$
$\quad$
$(x+y)^2\qquad|\quad\color{brown} \text{rücksubst.}$
$\quad$
$(3a+5b)^2$
$\quad$
$\quad$
Vereinfachter Term: $\qquad (3a+5b)^2$