Umkehrfunktion

• Funktion , die das Wirken einer anderen Funktion rückgängig macht
• Formelzeichen: $f^{-1}(x)$
• Wird auch als inverse einer anderen Funktion bezeichnet
• Nicht zu jeder Funktion gibt es eine Umkehrfunktion
• Der Graph der Umkehrfunktion entspricht dem an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen der Ursprungsfunktion

links- vs. rechtsinvers

• linksinvers:

  • Linksinvertierbar $\Leftrightarrow$ injektiv
  • Es existiert eine rechtsinverse Funktion, welche die betrachtete Funktion rückgängig macht

• rechtsinvers:

  • Rechtsinvertierbar $\Leftrightarrow$ surjektiv
  • Jedes Element im Wertebereich kann mindestens einem Urbild zugeordnet werden
  • Funktion lässt sich als Teil einer Identitätsfunktion auf den Wertebereich betrachten
  • Die Identitätsfunktion lässt sich durch Zuweisen einer geeigneten linksinvertierbaren Funktion bilden
  • Es existiert mindestens eine geeignete linksinvertierbare Funktion

• Pärchen partiell inverser Funktionen

  • Der Definitionsbereich der rechtsinvertierbaren ist eine Obermenge des Wertebereichs der linksinvertierbaren
  • Der Definitionsbereich der linksinvertierbaren entspricht dem Wertebereich der rechtsinvertierbaren
  • Aus einem ‘Pärchen’ partiell inverser Funktionen kann man einen Satz vollwertiger Umkehrfunktionen erzeugen, indem man den Definitionsbereich der rechtsinversen auf das Bild der linksinversen einschränkt