$\quad$
$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 3$
$\quad$
$\quad$
1. Definitionsmenge bestimmen
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\lbrace0;(-1)\rbrace$
$\quad$
$\quad$
2. Brüche erweitern, um einen gemeinsamen Hauptnenner zu erhalten
$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 3$ $\quad$
$\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = 3$
$\quad$
$\quad$
3. Mit Hauptnenner multiplizieren
$\quad$
$\frac{3x+1}{x(x+1)} = 3 \quad \mid \cdot x(x+1)$
$\quad$
$3x + 1 = 3x^2 + 3x$
$\quad$
$\quad$
4. Nullstellen der neuen Gleichung ermitteln
$\quad$
$3x + 1 = 3x^2 + 3x\quad\mid-(3x+1)$
$\quad$
$0 = 3x^2 + 3x - 3x - 1$
$\quad$
$0 = 3x^2 - 1\quad\mid\div3$
$\quad$
$0=x^2-\frac13\quad\mid+\frac13$
$\quad$
$\quadx^2=\frac13$
$\quad$
$\Rightarrow x_1 = \sqrt{\frac{1}{3}};\qquad x_2 = -\sqrt{\frac{1}{3}}$
$\quad$
$\quad$
5. Lösungen prüfen und Lösungsmenge bestimmen
$\Rightarrow$ Da beide Lösungen Teil der Definitionsmenge sind, ist die Lösungsmenge definiert als:
$\quad$
$\mathbb{L}=\lbrace\sqrt{\frac{1}{3}};\quad-\sqrt{\frac{1}{3}}\rbrace$
