Wurzelgleichung lösen

1. Definitionsmenge bestimmen

   • Bestimme die Werte, für die der Radikand (das Innere der Wurzel) definiert ist:
     • Bei geraden Wurzeln ($\sqrt[n]{x}$ mit $n$ gerade) muss der Radikand $≥0$ sein.
     • Bei ungeraden Wurzeln gibt es keine Einschränkungen.

2. Gleichung umstellen

   • Stelle die Gleichung so um, dass die Wurzel auf einer Seite isoliert ist.

3. Potenzieren, um die Wurzel zu eliminieren

   • Potenziere beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Potenz, die der Wurzel entspricht (z. B. quadrieren bei $\sqrt{x}$).
   • Beachte, dass durch das Potenzieren neue Lösungen ($= dv.span("<span style='color: red; font-weight: bold;'>Scheinlösungen</span>");) entstehen können.

4. Neue Gleichung lösen

   • Löse die resultierende Gleichung. Das kann eine lineare, quadratische oder andere Gleichung sein.

5. Lösungen prüfen

   • Setze jede gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie die Gleichung erfüllt und in der Definitionsmenge liegt.
   • Schließe Scheinlösungen aus.

6. Lösungsmenge bestimmen

   • Gib die Menge aller gültigen Lösungen an.

$\quad$
$\sqrt{x+3} + 1 = x$
$\quad$
Term unter der Wurzel darf nicht negativ sein $\Rightarrow x\geq-3$
$\quad$
1. Definitionsmenge bestimmen
$\mathbb{D}=\lbracex\in\mathbb{R}\mid x\geq-3\rbrace$
$\quad$
$\quad$
2. Gleichung umstellen, um die Wurzel zu isolieren
$\sqrt{x+3} + 1 = x\quad\mid-1$
$\sqrt{x+3} = x - 1$
$\quad$
$\quad$
3. Potenzieren, um die Wurzel zu eliminieren
$(\sqrt{x+3})^2 = (x - 1)^2$
$\quad$
$x+3 = x^2 - 2x + 1$
$\quad$
$\quad$
4. Neue Gleichung lösen
$\quad$
$x+3 = x^2 - 2x + 1\quad\mid-x\quad\mid-3$
$\quad$
$x^2 - 3x - 2 = 0$
$\quad$
$p = -3,\quad q = -2$.
$\quad$
$x_{1,2} = -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-2)}$
$\quad$
$x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2}$
$\quad$
$x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 2}$
$\quad$
$x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{8}{4}}$
$\quad$
$x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{17}{4}}$
$\quad$
$x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$
$\quad$
$\Rightarrow x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
$\quad$
$\quad$
$\quad$
5. Lösungen prüfen und Lösungsmenge bestimmen
Gefundene Lösungen:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
$\quad$
Prüfung der Lösungen in der ursprünglichen Gleichung $\sqrt{x+3} + 1 = x$:
$\quad$

• Für $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$:
  $\sqrt{\frac{3 + \sqrt{17}}{2} + 3} + 1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
  $\sqrt{\frac{3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{6}{2}} + 1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
  $\sqrt{\frac{9 + \sqrt{17}}{2}} + 1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
  Wahr
  $\quad$
• Für $x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$:
  $\sqrt{\frac{3 - \sqrt{17}}{2} + 3} + 1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
  $\sqrt{\frac{3 - \sqrt{17}}{2} + \frac{6}{2}} + 1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
  $\sqrt{\frac{9 - \sqrt{17}}{2}} + 1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
  $\sqrt{\frac{9 - \sqrt{17}}{2}}$ ist nicht definiert, da der Radikand negativ wird.
  Falsch
  $\quad$
  Lösungsmenge
  $\mathbb{L} = \left\lbrace\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right\rbrace$