Polynom durch Substitution lösen

1. Man stellt sicher, dass alle Exponenten der Variable $x$ über den größten gemeinsamen Teiler $k$ verfügen
2. Man verringert man den Grad des Polynoms durch die Substitution $z=x^k$ und erhält so ein Polynom mit einem geringeren Grad
3. Man löst das Polynom des geringeren Grades
4. Man schließt von den erhaltenen Lösungen auf die Lösungen des Ursprungspolynoms (Rücksubstitution)

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Gegeben: $\quad x^4-5x^2+6=0\qquad\quad\to\quad1.$ sichergestellt ✅
$\quad$

$x^4-5x^2+6=0\quad|\quad$ Substituiere $z = x^2\qquad(k=2)\qquad\to\quad 2.$ Substitution anwenden ✅
$\quad$
$z^2-5z+6=0\quad|\quad$ -> mit Pq-Formel lösen$\qquad\to\quad 3.$ Neues Polynom lösen✅
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$z_1=2$
$z_2=3$

$\rightarrow\quad x_1=\sqrt2,\quad x_2=-\sqrt2,\quad x_3=\sqrt3,\quad x_4=-\sqrt3$$\qquad\to\quad 4.$ Ursprungslösungen schließen✅
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$\quad$
Anmerkungen zu Lösungsschritt 4
Da zuvor $z=x^2$ substituiert wurde, erfolgt dir Rücksubstitution durch Auflösen dieser Gleichung für $z_1$ und $z_2$