$|x+1|=3$
$\quad$
Hinweis
Ist der Term rechts vom Gleichheitszeichen (hier: $3$) kleiner als 0, besitzt die Gleichung keine Lösung und man sollte nicht weiter danach suchen.
$\quad$
1.) Betrachtung des Falls $\quad$‘Term im Betrag $\geq$ 0’
Betragsstriche müssen durch Klammern ersetzt werden
$\quad$
$\quad\underline{(x+1)\geq0}$
$\quad$
$\quad|x+1|=3\quad\Rightarrow\quad(x_1+1)=3$
$\quad$
$\quad$
$\quad\underline{\text{Auflösen nach }x}$
$\quad$
$\quad(x_1+1)=3\qquad|\quad-1$
$\quad$
$\quad\quad x_1=2$
$\quad$
2.) Betrachtung des Falls $\quad$‘Term im Betrag $<$ 0’
$\quad$
Betragsstriche müssen durch Klammern ersetzt und negiert werden
$\quad$
$\quad\underline{(x+1)<0}$
$\quad$
$\quad|x+1|=3\quad\Rightarrow\quad-(x_2+1)=3$
$\quad$
$\quad$
$\quad\underline{\text{Auflösen nach }x}$
$\quad$
$\quad-(x_2+1)=3\qquad|\quad\cdot(-1)$
$\quad$
$\quad x_2+1=-3\qquad|\quad-1$
$\quad$
$\quad x_2=-4$
$\quad$
3.) Ergebnisse kombinieren
$\quad$
Die Ergebnisse der Beiden Fälle lassen sich in folgender Lösungsmenge zusammenfassen:
$\quad$
$\mathbb{L}=\lbrace2,(-4)\rbrace$
$\quad$
$\quad$
Anmerkung:
Im Falle der Betragsungleichung ist es nicht nötig, die Lösungen auf Gültigkeit zu prüfen. Da die Fall-Annahme “Term $\geq$ 0” bzw. “Term < 0” wird durch Setzen bzw. nicht Setzen eines Minus-Zeichens automatisch in die Ungleichung aufgenommen.
