Bruchungleichung durch Fallunterscheidung lösen

1. Definitionsbereich $\mathbb{D}_1$ für den Fall ‘Nenner > 0’ bestimmen
2. Vorläufige Lösungsmenge $\mathbb{V}_{1}$ für den Fall ‘Nenner-Term > 0’ bestimmen
3. Ersten Teil der Gesamtlösung $\mathbb{L}_1$ als Schnittmenge von $\mathbb{D}1$ und $\mathbb{V}{1}$ bestimmen
4. Die Schritte 1 bis 3 für den Fall ‘Nenner-Term < 0’ wiederholen
5. Gesamt-Lösung als Mengenvereinigung von $\mathbb{L}_1$ und $\mathbb{L}_2$ bestimmen

$\quad$
$\quad\dfrac{x}{x+3}<4\qquad$

$\quad$

Schritt 1:$\quad$Definitionbereich $\mathbb{D}_1\quad$ bestimmen

$\to$ Der Nenner des Bruchs wird $0$ gesetzt, dann wird nach $x$ aufgelöst

$x+3>0\quad\mid-3$
$x>-3$

$\mathbb{D}_1=(-3;\infty)$

$\quad$
$\quad$

Schritt 2: $\quad$Vorläufige Lösungsmenge $\mathbb{V}_{1}$ bestimmen

$\frac{x}{x+3}<4\quad\mid\cdot(x+3)$

$x<4(x+3)\quad\mid\text{ausmultiplizieren}$

$x<4x+12\quad\mid-x$

$0<3x+12\quad\mid-12$

$-12<3x\quad\mid\div3$

$-4

$\mathbb{V}_1=(-4;\infty)$

$\quad$
$\quad$

Schritt 3: $\quad$ Ersten Teil der Gesamtlösung $\mathbb{L}_1$ bestimmen

$\mathbb{L}_1=\mathbb{D}_1\cap\mathbb{V}_1=(-3;\infty)\cap(-4;\infty)$
$\mathbb{L}_1=(-3;\infty)$

$\quad$
$\quad$

Schritt 4.1:$\quad$ Definitionsbereich $\mathbb{D}_2$ für den Fall “Nenner < 0” bestimmen

$x+3<0\quad\mid-3$
$x<-3$

$\mathbb{D}_2=(-\infty;-3)$

$\quad$

Schritt 4.2:$\quad$ Vorläufige Lösungsmenge $\mathbb{V}_2$ für den Fall „Nenner < 0“ bestimmen

$\frac{x}{x+3}<4\quad\mid\cdot(x+3)$

$x>4(x+3)\quad\mid\text{ausmultiplizieren}$

$x>4x+12\quad\mid-x$

$0>3x+12\quad\mid-12$

$-12>3x\quad\mid\div3$

$\mathbb{V}_2=(-\infty;-4)$

$\quad$

Schritt 4.3:$\quad$ Zweiten Teil der Gesamtlösung bestimmen

$\mathbb{L}_2=\mathbb{D}_2\cap\mathbb{V}_2=(-\infty;-3)\cap(-\infty;-4)$

$\mathbb{L}_2=(-\infty;-4)$
$\quad$
$\quad$

Schritt 5: $\quad$ Gesamtlösung bestimmen

$\mathbb{L}=\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2=(-3;\infty)\cup(-\infty;-4)=(-\infty;-4)\cup(-3;\infty)$