Betragsfunktion
- Funktion, die einer reellen Zahl ihren Abstand zum Nullpunkt der Zahlengerade zuordnet
- Wird oft als $|x|$ geschrieben und definiert als:
$|x| = x, \text{wenn } x \geq 0 \quad$
$|x| = -x, \text{wenn } x < 0$
Eigenschaften:
- Nicht-Negativität: $|x| \geq 0$ für alle $x$.
- Symmetrie: $|x| = |-x|$.
- Dreiecksungleichung: $|x + y| \leq |x| + |y|$.
Beispiele:
- $|3| = 3$
- $|-5| = 5$
- $|0| = 0$
Anmerkung
Für den Punkt, an dem das Argument 0 wird, ist die Ableitung oftmals nicht definiert.
Grund: Die links- und rechtsseitigen Ableitungen stimmen an diesem Punkt nicht überein.
Beispiel:
$\quad \color{green} f(x)=|x|$
$\quad \color{red} f’(x)$