Äquivalenzumformung
- Operation, die den Wahrheitswert bzw. die Lösungsmenge einer Gleichung nicht beeinflusst
- Operation kann rückgängig gemacht werden -> ist immer injektiv
- Kann durch Äquivalenzzeichen gekennzeichnet werden
Beispiele für Äquivalenzumformungen
- Vertauschen der beiden Gleichungsseiten
- Addition
- Subtraktion
- Multiplikation -> mit Termen $\neq$ 0 -> Wenn man mit $x$ multipliziert, gilt es $x=0$ vorher auszuschließen
- Division -> durch Terme $\neq$ 0-> Wenn man durch $x$ teilt, gilt es $x=0$ vorher auszuschließen
- Logarithmieren -> nur wenn beide Seiten der Gleichung positiv sind
- Termumstellungen, z.B. das Anwenden von Rechengesetzen, wie z.B.:
Äquivalenzoperation$\large{}\Rightarrow$ injektiv$\qquad$ aber$\qquad$injektiv $\large{}\nRightarrow$ Äquivalenzoperation
Alle Äquivalenzumformungen sind injektiv
, da sie sonst nicht eindeutig umkehrbar wären. Allerdings sind nicht alle injektiven Funktionen auch Äquivalenzfunktionen. Beispiel: Wurzel-Ziehen ist nur für nicht negative reelle Zahlen definiert. Jeder Input-Wert liefert einen individuell verschiedenen Zielwert. Somit ist das Wurzelziehen injektiv. Dass es sich trotzdem nicht um eine Äquivalenzumformung handelt, wird nachfolgend gezeigt.
Quadrieren und Wurzel-Ziehen sind in Verbindung mit negativen Zahlen keine Äquivalenzumformungen
Quadrieren von negativen Zahlen ist keine Äquivalenzumformung.
Grund 1:
Quadrieren ist in den reellen Zahlen nicht injektiv.
Bei einer injektiven Abbildung können zwei unterschiedliche Argumente nicht auf den gleichen Wert abgebildet werden. Allerdings gilt:
$2^2=4\quad$ und $\quad(-2)^2=4$
Grund 2:
Quadrieren vergrößert ggf. die Lösungsmenge.
Ausgangsgleichung:
$x=2\quad\Rightarrow\quad\mathbb{L}=\lbrace 2\rbrace$
Nach dem Quadrieren:
$x^2=4\quad\Rightarrow\quad\mathbb{L}=\lbrace2,(-2)\rbrace$
Weiteres Beispiel, in dem Quadrieren zur falschen Lösung führt
$\sqrt{x}+\sqrt{5-x}=0$
$\sqrt{x}=-\sqrt{5-x}\quad|^2$
$x=5-x$
$2x=5$
$x=\frac52$
$\quad$
Probe durch Einsetzen:
$\sqrt{\frac52}+\sqrt{5-\frac52}=0$
$\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac52}=0\quad↯$
$\quad$
$\Rightarrow\quad\frac52$ ist keine gültige Lösung der Gleichung!
$\quad$
$\quad$
Wurzel ziehen ist keine Äquivalenzumformung.
Grund:
Ziehen der Wurzel verkleinert ggf. die Lösungsmenge.
Beispiel:
$\mathbb{L}(x^2=9)=\lbrace3,(-3)\rbrace$
$\mathbb{L}(x=3)=\lbrace3\rbrace$
$\Rightarrow$ Nach dem Wurzelziehen fehlt die negative Lösung.