binomischer Lehrsatz

• Gleichung, die der Berechnung eines Terms der Form $(a+b)^n$ dient
  -> $a,b$ = Konstanten
  -> $n$ = beliebige natürliche Zahl

$\Rightarrow$ Erweiterung der ersten binomischen Formel auf Exponenten größer $2$

• Formel:
  $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Beispiel: $n=4$
Für $n=4$ ergibt sich die Berechnung aus der binomischen Formel:

$\large{}(a+b)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}a^{4-k}b^k$

Die einzelnen Binomialkoeffizienten sind:

$\binom{4}{0}=1, \quad \binom{4}{1}=4, \quad \binom{4}{2}=6, \quad \binom{4}{3}=4, \quad \binom{4}{4}=1$

Damit ergibt sich:

$(a+b)^4=1\cdot a^4+4\cdot a^3b+6\cdot a^2b^2+4\cdot ab^3+1\cdot b^4$

$=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Statt der Formel zur Berechnung der Exponenten kann auch das paskalsche Dreieck verwendet werden: