Darcy-Weisbach-Gleichung

• Formel zur Berechnung des Druckverlustes durch Rohr-Reibung
• Formel: $\Delta p = \lambda \cdot \dfrac{l}{d} \cdot \dfrac{\rho}{2} \bar{u}^{2}$

Herleitung

1. Formel für die Reynoldszahl laminarer Strömungen nach $\eta$ umstellen
   $Re=\dfrac{\overline{u}\cdot d\cdot \rho}{\eta}\quad \Rightarrow \quad \eta = \dfrac{\overline{u}\cdot d\cdot\rho}{Re}$

2. Das Gesetz von Hagen-Poiseuille umformen ( $\dot{V}=\overline{u}\cdot\pi\cdot r^2$,$\quad$ $r=\frac{d}2$,$\quad$ umstellen nach $\Delta p$,$\quad$ erweitern mit $2$)
   $\dot{V} = \dfrac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta l}\quad\Rightarrow\quad \Delta p = \dfrac{64 \cdot l \cdot \eta}{2\cdot d^{2}} \cdot \bar{u}$

3. $\eta$ in $\Delta p$ einsetzen
   $\Delta p = \dfrac{64}{Re} \cdot \dfrac{l}{d} \cdot \dfrac{\rho}{2} \bar{u}^{2}$

4. $\dfrac{64}{Re}$ entspricht der Rohrreibungszahl für laminare Strömungen $\lambda$ -> ersetzen
   $\Delta p = \lambda \cdot \dfrac{l}{d} \cdot \dfrac{\rho}{2} \bar{u}^{2}$
   -> Die Formel kann auch für turbulente Strömungen angewendet werden, allerdings muss man dann die Rohrreibungszahl mit einem Verfahren für turbulente Strömungen bestimmen, z.B. Moody-Colebrook-Diagramm

Variationen der Formel

1. Ersetzt man in der Grundgleichung $\lambda \cdot \dfrac{l}{d}$ durch den Widerstandsbeiwert $\upzeta$, erhält man $\Delta p = \upzeta \cdot \dfrac{\rho}{2} \bar{u}^{2}$
2. Setzt man in die Gleichung mit dem Widerstandsbeiwert (1.) $\quad \upzeta = R_{\upzeta} \cdot \dfrac{2A^2}{\rho} \quad$ und $\quad \bar{u}\ A = \dot{V} \quad$ ein, erhält man:
   $\Delta p_v=R_{\upzeta}\cdot\dot{V}^2$